☛ Épreuves successives

Énoncé

Les faces d'un dé équilibré sont numérotées de \(1\) à \(6\). On lance trois fois de suite le dé.

1. Combien y a t-il de triplets possibles ?
2. Déterminer la probabilité des événements suivants.
    a. "Obtenir \(1\) lors du premier lancer."
    b. "Obtenir exactement un \(1\) sur l'ensemble des trois lancers."

Solution

1. On s'inspire d'un arbre de dénombrement (sans le réaliser !) pour visualiser le principe multiplicatif. Il y a \(6\) possibilités (les entiers naturels de \(1\) à \(6\)) lors du premier lancer, de même pour les deuxième et troisième lancers. 
\(6\times6\times6=216\) 
\(216\) triplets constituent donc l'univers.

2.  a. Ici, il n'y a qu'une contrainte sur le premier lancer. On dénombre les issues qui réalisent cet événement : \(1\) possibilité pour le premier lancer, \(6\) pour le second et \(6\) pour le troisième, soit  \(1\times6\times 6\) cas favorables.
Donc la probabilité demandée est égale à \(\dfrac{1\times6\times6}{6^3}=\dfrac{1}{6}\).

    b. Premier cas
Le \(1\) est obtenu lors du premier lancer alors on a \(5\) possibilités lors du deuxième et \(5\) lors du troisième lancer puisqu'on ne veut qu'un seul \(1\) sur les trois lancers.
Soit \(1\times5\times5=25\) cas favorables.

Deuxième cas
Le \(1\) est obtenu lors du deuxième lancer et alors il y avait \(5\) possibilités lors du premier lancer et \(5\) possibilités lors du troisième. On exclut le \(1\) des possibilités lors des premier et troisième lancers puisqu'on ne veut obtenir qu'une seule fois le \(1\). Soit \(1\times5\times5=25\) cas favorables.

Troisième cas
Le \(1\) est obtenu lors du troisième lancer et alors il y avait \(5\) possibilités lors du premier et du deuxième lancer. On exclut le \(1\) des possibilités lors des premier et deuxième lancers puisqu'on ne veut obtenir qu'une seule fois le \(1\). Soit \(1\times5\times5=25\) cas favorables.

Finalement, on dénombre \(25 +25+25=75\) cas favorables sur les \(216\) cas possibles.

Donc la probabilité demandée est égale à \(\dfrac{75}{216}\) .